高考数学真题必刷1000题5_解析几何压轴题解题方法

解析几何压轴难题

今天我们来看一下全国卷的压轴题,在你正式听视频或者看文章之前,按照国际惯例,需要你自己做一下,这样你对这道题的理解就会更加通透。否则,你永远只是被动学习,仅仅听懂而已,不会做的还是不会做。
同学,做出来的吗?你的思路是怎么样的呢?接下来我们就开始解题:

第一步:整理向量数量积
首先把数量积转化成模的形式,向量PA*向量PB=向量PA的模*向量PB的模*cosθ(θ为向量PA与向量PB的夹角)。

第二步:找到解题思维
接下来我们开始分析,要求向量PA的模*向量PB的模*cosθ的最值,发现它们3个都是变量,然而在高中数学范畴内只能解决两个变量求最值问题,两个变量求最值,要么是线性规划,要么就是均值不等式问题。
由于此题没有涉及到区域问题,所以就不用想着用线性规划,则是采用均值不等式或对勾函数。

第三步:统一变量
由于高中范围只能解决2个变量求最值问题,所以就需要我们统一成2个变量或者统一成一个变量,利用均值不等式或对勾函数,就需要统一成1个变量,这就是成了我们所讲了函数值域问题。而这道题其实也涉及到了对勾函数问题,以前我们讲过,同学们一定要掌握对勾函数,高考的频次非常高。

第四步:找统一变量的桥梁
如何在这个图形当中去找这个桥梁呢?由于半径为1,我们就把OP当作桥梁,把所有的变量都统一成OP的形式,所以向量AP的模=√(x^2-1),向量BP的模=√(x^2-1),cosθ就需要转化为sinθ,

第五步:计算并通过均值不等式求最值

具体解题书写过程如图所示:

解析几何压轴题解题方法

总结:此道解析几何压轴题,其本质是数量积求最值问题,核心思维就是需要转化成模的形式,3个变量统一成一个变量,从而利用均值不等式求解。

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