高考数学真题必刷题18_函数经典综合题型及解题方法技巧

二次函数题型和解题方法

函数经典综合题型及解题方法技巧

点击左上角头像看更多课程!今天分享的是高考数学真题必刷1000题的第18题,这道题是全国卷的压轴题,如果理解不透彻,可能你看标准解析看上10分钟也未必看得明白,接下来就开始给大家讲一种简单的方法。

第一步:函数综合难题的解题方法思路

这道题一共四种方法:

①导数法:
进行分类讨论;
②分离参变量;
③均值法;
④图像法。
前三种方法都非常麻烦,今天肖老师教大家第④种方法:图像法,运用这种方法就可以达到速解。

如果想要作用图像法,那同学们就必须掌握一个性质。什么性质呢?如果g(x)的对称轴为x=a,可以推出g(x)=g(2a-x),相信这一点同学们都理解;另一个性质是什么呢?就是m*g(x)的对称轴也为x=a,即m*g(x)=m*g(2a-x)。

根据上面所得出的结论,接下来非常重磅的性质又出来了,f(x)=m*g(x)+n*h(x),如果g(x)和h(x)对称轴都为a,那么f(x)的对称轴也为a。

 

第二步:函数综合难题解题方法的证明

如何证明呢?只需要证明f(x)=f(2a-x)即可。我们把2a-x代入m*g(x)+n*h(x)得到:f(2a-x)=m*g(2a-x)+n*h(2a-x)=m*g(x)+n*h(x),即f(2a-x)=f(x)。所以f(x)的对称轴为a。

 

第三步:函数综合难题的解题过程

接下来就开始正式解题,设g(x)=x^2-2x,h(x)=e^(x-1)+e^(-x+1),g(x)就是一个对称轴为1开口向上的抛物线,h(x)对称轴也为1吗?我们把2a-x代入其中通过计算同样得到:h(2a-x)=e^(x-1)+e^(-x+1),h(x)=h(2a-x),所以h(x)对称轴为1,即f(x)对称轴为1。

由题目已知有唯一零点,所以这个零点只能是在对称轴上:即x=1时,f(1)=0,代入求得a=1/2,正确答案为C。

总结:此题难度很大,我们运用函数图像及函数的对称性就可以轻松速解。关于奇函数性质我们还讲了另外一类题型的秒杀技巧,可以点击查看:10秒搞定奇函数性质压轴难题

最后,祝大家高考金榜题名,站在巨人肩膀上学习远比自己琢磨要高得几十倍,甚至上百倍!欢迎大家早日加入肖博老师VIP系统班进行高效学习提分!

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