高中数学真题必刷题36_均值不等式公式及难题的解题方法

均值不等式,又称为平均值不等式平均不等式,是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

一、均值不等式的公式

均值不等式公式

注意:①注意运用均值不等式求最值的条件:一正、二定、三相等;

②还要熟悉一个非常重要的不等式链:

非常重要的不等式链

二、均值不等式公式的应用

这是一道2020江苏的高考真题,考的就是我们前面提到的第2个公式:ab≤[(a+b)/2]^2,本题主要难题在于配凑成这种不等式的形式。我们开始看题:

均值不等式经典例题

1、如何对题干中的等式进行处理呢?

我们首先提一个y^2出来,就得到y^2(5x^2+y^2)=1,然将把y^2看成一个整体b,把5x^2+y^2看成一个整体b,这样就可以利用第2个均值不等式了。但是直接使用均值不等式我们发现不能凑出x^2+y^2的形式,所以就将等式乘以4,然后利用均值不等式公式就可以得到x^2+y^2的形式,如图:

均值不等式解题思路

2、检验等号成立条件

当且仅当两者相等的时候,取得最小值,所以代入进去算得等式成立,则x^2+y^2的最小值为4/5成立。

 

均值不等式非常好用,也非常重要,特别是在解决极值最值问题时,直接利用均值不等的推论比其它方法要方便很多。以上就是肖博老师为大家介绍的关于高中数学均值不等式的几个公式和经典题型才法,想要了解的更多关于《均值不等式难题的解题方法》后续相关文章,请继续关注肖博老师!

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