高中数学解三角形题型及解题方法_射影定理的神奇应用

解三角形题型及解题方法:射影定理的神奇应用

导读:今天讲关于解三角形题型及解题方法,主要讲射影定理记忆口诀、证明方法以及如何巧妙记忆的。掌握这个方法,不仅可以速解填选题,甚至还可以1分钟书写解三角形大题!

一、射影定理三个公式的证明方法

射影定理公式

我们是如何得到这些公式的呢?我们先看第1个公式在三角形ABC中,先标出相对应的边a、b、c,然后过A点做BC边的高线为E点。则可以得到:a=AB+EC=c*cosB+b*cosC;同理可以推导出第2个、第3个公式。

二、射影定理三个公式怎么巧妙记?

巧妙记的方法很简单:十字相叉相乘,再相加。如图:

射影定理怎么巧妙记忆

是不是特别简单?只要大家记住这几个射影定理公式,我们就可以10秒快速解决有关解三角形特别难的题。

三、射影定理如何应用

接下来直接开始做题:

例1:在△ABC中,已知3a*cosA=c*coB+b*cosC,求cosA的值。

我们如果用常规方法的话,由于它有涉及到三个角度A、B、C都有,那么就我们就要换掉一个角度,但是换哪个角度是唯一的,如果同学们一旦换错,就容易被卡住,很容易导致心情崩溃做不出来。那么我们一旦用射影定理,这道题就能快速解决掉。

根据射影定理公式,等式的右边c*coB+b*cosC是不是直接就是a?所以cosA直接就是1/3,只需要5秒就解决了此题!

接下的几题同学们就可以自己动手去做了!看看是不是可以让你解题速度提升几倍!甚至10倍!

解三角形经典例题

四、射影定理1分钟书写大题

有的同学会问,如果是大题可以这样写吗?这样写肯定是不给分的,那我们要如何书写呢?我们以第4题举例讲解大题如何书写步骤:

第1步:∠A=π-(B+C),那sinA=sin[π-(B+C)],

第2步:根据诱导公式得:sinA=sin(B+C)=sinB*cosC+sinC*cosB,

第3步:再用正弦定理换成对应的边得:sinA=b*cosC+c*sinB,得b*cosC+c*cosB=b*cosC+c*sinB,化简得到cosB=sinB,所以∠b=π/4。

以这样的步骤进行书写就可以得满分!

总结:用射影定理解决填选题的只需要记住三个公式即可,而三个公式的记忆方式就是交叉相乘再相加。而书写大题的核心就是如果想要c边,就肯定需要把C角用A、B角表达出来,后面要a边,就需要把A角用B、C表达出来;同理想要表达B边也是一样的道理,这样就可以快速解题,事半功倍!

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