高中数学三角函数公式的神奇应用(重要知识点梳理总结)

导读:关于三角函数在高考中主要考察的是公式、图像、性质(单调性与奇偶性)以及解三角形。而我们今天分享的就是关于公式的一些解题小技巧。比起你常规解题要快很多倍。我们试目以待吧!

一、三角函数解题技巧1:化简求值

1、我们可以看下面的2道题,你会怎么做呢?这类题如果用常规做是不是需要用二倍角公式、切换弦、半角公式?这样做就很麻烦。但今天我将给同学讲一种技巧,如果答案为具体值(也就是说针对选择题),我们就可以采用特殊角进行化简(这里需要注意的是,你令的特殊角必须要让式子有意义)!

先看第①题:是不是直接令α=0就可以?直接代入进行演算,就可以快速得到答案为1。

再看第②题:将θ令成多少度?是不是直接令成15度最简单?代入进去演算同样秒算出答案为。

三角函数公式

2、接下来看第③题:求cos20°*cos40°*cos80°的值为________。

你会怎么做这个题呢?常规是不是也很麻烦,而我们就采用求谁设谁的方法,这个题就变得很简单!如图:

三角函数技巧解答

二 、三角函数解题技巧2:和差乘

我们接着讲第3种方法,如下图例(1)题,这个题你会怎么做?

三角函数解题技巧教程

这个题有两种技巧方法:第1种是齐次式,第2种就是我们今天所讲的方法:利用和与乘、差与乘的关系。什么意思呢,看下图:

三角函数解题技巧核心思维

所以我们就开始解例(1)题:已知sinα+cosα=1/5,我们就设sinα-cosα=x(先判断x为负,因为α在四角限),先算出x,是不是就可以求出sinα,然后就可以算出cosα了。然后将它们都平方得:1+2sinα*cosα=1/25,1-2sinα*cosα=x^2,联立相加就求得x=±7/5(由于x为负),所以x=-7/5,所以求得sinα=-3/5,cosα=4/5,则tanα=-3/4。

例(2)题:若sinα*cosα=1/8,α∈(π/4,π/2),求cosα-sinα的值。

有了上面讲的方法,这个题是不是就可以快速算得答案了?直接令cosα-sinα=x,将它平方得到:1-22sinα*cosα=x^2,x^2=1/4,由于α∈(π/4,π/2),所以x取负,则x=-√3/2。

三 、三角函数解题技巧3:给值求题、给值求角【重点】

前面讲的都是一些小技巧,而现在关于“给值求题、给值求角”的题型才是重点,因为这类题比较综合,也比较有难度,所以考的频次也会更高一些。同学们,可以自己动手做一下这些题,一定要自己动手做,这样理解才会更加深刻。

三角函数综合难题

这些题是不是有些难度,特别是第5、6题,短时间你可能就做不出来。今天就给同学讲本质,这些题一共分为2种题型:一种是知二求一,另一种是知一求一。

怎么做呢?其核心思想就是:由角出发。我们先看第1题:已知2个角,求1个角。解题思想是什么呢?我们就把3个角分别标为:①②③,转化成"①±②=③+特殊角"的形式,也可以是"2*①±②=③+特殊角"或"①±2*②=③+特殊角"的形式,总之,转化成这种形式就行。

分析:第①和第②角,如何得到第③解?是不是直接②角-①角?②-①=3π/4+β-(π/4-α)=α+β+π/2,所以sin(α+β)=sin[3π/4+β-(π/4-α)-π/2],然后利用诱导公式求得:sin(α+β)=-cos[3π/4+β-(π/4-α)]=-cos(3π/4+β)*cos(π/4-α)-sin(3π/4+β)*sin(π/4-α),根据题目已知,就可以算出答案!

第2题:先分析:x+π/6-x=π/6,则得到x=x+π/6-π/6,所以cosx=cos[(x+π/6)-π/6]=cos(x+π/6)*cos(π/6)+sin(x+π/6)*sin(π/6) 是不是直接可以算出来了?

接下来后面的题就当作业留给同学们自己去做啦!有问题可以随时联系老师。

总结:今天讲的方法主要是重思维,思维打通,三角函数这方面的题就没有任何思维难度了,只要你的计算能力过关,就可以快速得到答案。这就是题型梳理、方法总结的神奇之处。

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